1. Mathematische Notation

Wir werden es hier mit Funktionen zu tun bekommen. Daher ist es wichtig, die grundlegenden Mechanismen zu verstehen, die hinter einer bestimmten Schreibweise einer Funktion stecken. Wir werden uns auf das Wichtigste beschränken. Die grundlegende Eigenschaft einer Funktion f ist, dass sie einem Element x genau ein Element y zuordnet. Dabei ist x die unabhängige Variable. Dies kann ein Alter, ein Jahr, eine Kohorte oder ähnliches sein. Hingegen muss y erst durch eine Rechenoperation gebildet werden und stellt somit beispielsweise die Lebenserwartung einer Periode dar. Die zusammengefügte Funktion folgt der Notation f(x)=y. Oft bilden wir Funktionen oder betrachten Variablen unter einer bestimmten Bedingung, meist für ein bestimmtes Jahr t oder ein bestimmtes Alter τ. Die Bedinung s wird dann tiefgestellt angehängt. Bekommt z.B. die altersspezifische Sterbeziffer das Zeichen δ, wird sie doch meist näher bestimmt durch ein Jahr t und ein Alter τ, da sie nur für dieses Jahr und für dieses Alter gilt. Folglich wird sie also als δ_t,τ notiert. Ein Überstrich (̅n) über einer Variable bedeutet, dass sie einen Durchschnitt repräsentiert. Rechnen wir beispielsweise mit Geburten innerhalb einer Jahresspanne, müssen wir beachten, dass die Bevölkerung am Anfang des Jahres wahrscheinlich eine andere war als am Ende. Da wir viel mit Summen arbeiten, müssen wir auch verstehen, was ein Zählindex ist. Betrachten wir z.B. die Survivorfunktion ab einem bestimmten Alter:

Die Variable T  ist ein Kunstgriff für die Berechnung dieser Funktion, da wir für eine Summe eine flexible Variable benötigen, die mehrere Zustände während einer Berechnung annehmen kann. Die unabhängigen Variablen sind dafür nicht geeignet, da sie nur fixe Start- oder Endpunkte darstellen. Es wäre verwirrend und mathematisch nicht korrekt, für den Zählindex die gleichen Variablen zu verwenden wie für unabhängige Variablen. T stellt also den Zählindex dar, welcher den Bereich zwischen zwei statischen Variablen abdeckt. Für unsere Survivorfunktion würde das bedeuten, wir suchen für die unabhängige Variable T mit Hilfe der Rechenoperation einer Summe die abhängige Variable G. T muss verschiedene Werte annehmen, die sich zwischen den fixen Startpunkten τ und τ_max befinden. P ist die relative Sterbehäufigkeit für ein bestimmtes Alter, die sich mit jedem Alter (also τ) ändert. Bei der Berechnung der Survivorfunktion ist die Sterbehäufigkeit P daher die abhängige Variable in Bezug auf ein bestimmtes Alter τ, aber auch die unabhängige Variable in Bezug auf die Survivor G. Diese Zwischenstellung löst der Zählindex T auf.

Autor: Robert Nasarek