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Allgemein

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Zum Allgemeinen zählen die mathematische Notation, Zeitstellen und Alter, Kohorten und Perioden und außerdem die Bevölkerung. Zum Verständnis von Bevölkerungsberechnungen ist ein wenig Vorwissen von Vorteil. So ist es von Nutzen zu wissen, wie eine mathematische Formel gelesen wird und außerdem in welche Gesamtheiten sich eine Bevölkerung aufteilt. Eine der berühmtesten Unterscheidungen der Demographie stellt die Zerlegung der Population in Kohorten und Perioden dar. Selbst simpel erscheinende Begriffe, wie Zeit und Alter, entpuppen sich bei näherer Betrachtung als trickreich und verlangen somit nach einer genaueren Festlegung.

Autor: Robert Nasarek

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1. Mathematische Notation

Wir werden es hier mit Funktionen zu tun bekommen. Daher ist es wichtig, die grundlegenden Mechanismen zu verstehen, die hinter einer bestimmten Schreibweise einer Funktion stecken. Wir werden uns auf das Wichtigste beschränken. Die grundlegende Eigenschaft einer Funktion f ist, dass sie einem Element x genau ein Element y zuordnet. Dabei ist x die unabhängige Variable. Dies kann ein Alter, ein Jahr, eine Kohorte oder ähnliches sein. Hingegen muss y erst durch eine Rechenoperation gebildet werden und stellt somit beispielsweise die Lebenserwartung einer Periode dar. Die zusammengefügte Funktion folgt der Notation f(x)=y. Oft bilden wir Funktionen oder betrachten Variablen unter einer bestimmten Bedingung, meist für ein bestimmtes Jahr t oder ein bestimmtes Alter τ. Die Bedinung s wird dann tiefgestellt angehängt. Bekommt z.B. die altersspezifische Sterbeziffer das Zeichen δ, wird sie doch meist näher bestimmt durch ein Jahr t und ein Alter τ, da sie nur für dieses Jahr und für dieses Alter gilt. Folglich wird sie also als δt,τ notiert. Ein Überstrich (̅n) über einer Variable bedeutet, dass sie einen Durchschnitt repräsentiert. Rechnen wir beispielsweise mit Geburten innerhalb einer Jahresspanne, müssen wir beachten, dass die Bevölkerung am Anfang des Jahres wahrscheinlich eine andere war als am Ende. Da wir viel mit Summen arbeiten, müssen wir auch verstehen, was ein Zählindex ist. Betrachten wir z.B. die Survivorfunktion ab einem bestimmten Alter:

Die Variable T  ist ein Kunstgriff für die Berechnung dieser Funktion, da wir für eine Summe eine flexible Variable benötigen, die mehrere Zustände während einer Berechnung annehmen kann. Die unabhängigen Variablen sind dafür nicht geeignet, da sie nur fixe Start- oder Endpunkte darstellen. Es wäre verwirrend und mathematisch nicht korrekt, für den Zählindex die gleichen Variablen zu verwenden wie für unabhängige Variablen. T stellt also den Zählindex dar, welcher den Bereich zwischen zwei statischen Variablen abdeckt. Für unsere Survivorfunktion würde das bedeuten, wir suchen für die unabhängige Variable T mit Hilfe der Rechenoperation einer Summe die abhängige Variable G. T muss verschiedene Werte annehmen, die sich zwischen den fixen Startpunkten τ und τmax befinden. P ist die relative Sterbehäufigkeit für ein bestimmtes Alter, die sich mit jedem Alter (also τ) ändert. Bei der Berechnung der Survivorfunktion ist die Sterbehäufigkeit P daher die abhängige Variable in Bezug auf ein bestimmtes Alter τ, aber auch die unabhängige Variable in Bezug auf die Survivor G. Diese Zwischenstellung löst der Zählindex T auf.

Autor: Robert Nasarek

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1.1 Buchführungsgleichungen

Dem historischen Demografen stehen zur Befüllung der Buchführungsgleichungen meist punktuelle Bevölkerungszahlen aus Zivilstandsregister, Volkszählungen oder vitalstatistischen Daten aus Kirchenbüchern zur Verfügung. Bei den Vitaldaten ist auf die Begrifflichkeit zu achten: Taufen sind keine Geburten und Begräbnisse keine Sterbefälle. Der bürokratische Umgang mit illegitimen Geburten und Totgeburten ist mehr oder weniger lasch, auch Migration ist oft schlecht vermerkt. Die Buchführungsgleichungen der modernen Demografie sind daher mit Vorsicht zu verwenden. Zur Einführung in erste Berechnungen sind sie aber durchaus nützlich. Wenn ich die Bevölkerungszahl einer Zeitstelle nt wissen möchte, benötige ich zumindest die Bevölkerungszahl der vorhergehenden Zeitstelle nt-1, die Geburtenzahlen bt und Immigrationszahlen mti meiner Zeitstelle, die Sterbezahlen bt-1 und Emmigrationszahlen m0t-1 der vorhergehenden Zeitstelle. Geburten und Immigration werden der Bevölkerung hinzugerechnet, Sterbefälle und Emigration werden abgezogen.

Beispiel:

Wir wollen die Bevölkerungsbewegung eines kleinen Städtchens namens Demotopia untersuchen. Stellen wir uns vor, wir wüssten nur den Bevölkerungsstand aus dem Jahr 1750 und die nachfolgenden Reihen der Geburten, Sterbefälle und der Migration. Wie groß war die Bevölkerung am Ende des Jahres 1751?

Diese simple Rechnung kann doch zu einiger Verwirrung führen, wenn man sich nicht klarmacht, an welcher Zeitstelle die Zahlen gültig sind. Wäre der Bevölkerungsstand für den Beginn des Jahres angegeben (t←), würde die Formel eine etwas andere Form n→=n→1751+b1751-d1751+mi1751-m01751 erhalten. Man muss immer klarmachen, ob man sich am Anfang oder am Ende einer Zeitstelle befindet.

Autor: Robert Nasarek

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1.2 Relative Sterbehäufigkeit

Die Häufigkeitsfunktion Pt(τ) zeigt die relativen Populationsanteile, die in einem Jahr t in einem bestimmten Alter gestorben sind. Kurz: Sie gibt Auskunft darüber, wie viele Personen in einem Alter sterben. Zur Berechnung benötigen wir die Gesamtbevölkerung Ω eines Jahres t und die Sterbefälle nach Altersangaben dt,τ für dasselbe Jahr.

Beispiel:

Wir wissen die Sterbe- und Bevölkerungsdaten des fiktiven Städtchens Demotopia. Die Sterbealter und die dazugehörigen absoluten und relativen Sterbehäufigkeiten der Bewohner für das Jahr t sind aus Tabelle 2 zu entnehmen. Von insgesamt 2092 Sterbefällen fanden vier in einem Alter von 23 Jahren statt.

Damit sterben circa 0,2% aller 23jährigen Person in ihrem Alter.

Autor: Robert Nasarek

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1.2.1 Altersspezifische Sterbeziffer

Die altersspezifische Sterbeziffer ̅δt,τ sagt uns, wie hoch der Anteil der Gestorbenen in einem gewissen gewöhnlichen Alter τ in einem Jahre t an der durchschnittlichen Gesamtbevölkerung ̅n in einem gewöhnlichen Alter war. Wir müssen beachten, dass wir jetzt mit dem gewöhnlichen Alter operieren und daher die durchschnittliche Bevölkerung eines Alters heranziehen müssen, da ein Teil der Personen am Anfang des Jahres jünger war, als am Ende. Gab es am Anfang eines Jahres vielleicht 1000 15jährige, können es am Ende nur noch 980 sein. Zusammen mit der absoluten Sterbehäufigkeiten kann man somit die altersspezifische Sterbeziffer berechnen.

Beispiel:

Wir wollen wissen, wie groß der Anteil der Personen an der Durchschnittsbevölkerung ̅n ist, die im Alter von 23 Jahren gestorben sind. Die absolute Sterbehäufigkeit der mit 23 Jahren gestorbenen Personen und die 23 jährige Durchschnittsbevölkerung entnehmen wir aus Tabelle 4. Der Quotient aus beiden bildet die altersspezifische Sterbeziffer für das Jahr 1793.

Damit wissen wir, dass ungefähr 0,1 Prozent der 23jährigen im Jahr 1793 gestorben sind.

Autor: Robert Nasarek

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1.2.2 Survivor ab einem bestimmten Alter

Survivor ab einem Alter sind diejenigen Personen, die ein gewisses Alter überlebt haben. Um Survivoranteile G zu berechnen, benötigen wir die relative Sterbehäufigkeit P aller Personen einer Bevölkerung, die in einem bestimmten Alter τ gestorben sind und zwar vom kleinsten Sterbealter τ0 bis zum maximal erreichten Alter τmax. Aus der Gesamtzahl aller Verstorben Ω und der Anzahl der Verstorbenen d in einem Alter kann man die relative Sterbehäufigkeit P in einem Alter τ errechnen. Wir wissen damit, wie häufig ein Bevölkerungsteil P in einem bestimmten Alter τ gestorben ist. Summiert man diese relativen Häufigkeiten ab dem betrachteten Mindestalter τmin bis zum Maximalalter τmax auf, erhalten wir die relative Häufigkeit G der Personen, die mindestens ein Alter Tmin erreicht haben.

Beispiel:

Wir möchten wissen, welcher Anteil der Bevölkerung älter als 80 Jahre wird. Dazu entnehmen wir die relativen Sterbehäufigkeiten aus der Tabelle 3 und setzen sie in die Gleichung ein. Jedes Alter hat eine spezifische Sterbewahrscheinlichkeit, die wir aufsummieren. In unserem Fall sind es 16 Summanden, angefangen bei der Sterbehäufigkeit der 80jährigen bis zu dem ältesten Bevölkerungsteil der 95jährigen.

Wir sehen, dass ungefähr 20% der Personen unseres Städtchens Demotopia älter als 80 Jahre wird.

Autor: Robert Nasarek

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1.2.3 Bedingte Sterbehäufigkeit

Während die Survivorfunktion G(τ), diejenigen Menschen angibt, die mindestens ein gewisses Alter überlebt haben, zeigt die Ratenfunktion r(τ) die relative Häufigkeit der Personen mit einer gewissen Lebensdauer P(τ) an, die mindestens diese Lebensdauer G(τ) erreicht haben. Die Ratenfunktion von den Personen mit dem Alter 25 würde angeben, wie viele Personen eine Lebensdauer von 25 Jahren hatten, von denen, die mindestens 25 geworden sind. Natürlich können wir auch die Verteilung auf andere Sterbealter errechnen, indem wir die relative Sterbehäufigkeit eines anderen Alters nehmen. Wichtig ist Ratenfunktion beispielsweise für Aussagen über Kindersterblichkeiten oder die genauere Betrachtung von Altersintervallen.

Beispiel:

Wir möchten wissen, wie hoch der Anteil derjenigen Personen mit einem Alter von 85 Jahren ist, an denen, die mindestens 85 Jahre geworden sind. Dazu berechnen wir aus der Gesamtzahl aller Verstorben Ω und der absoluten Sterbehäufigkeit d der Personen mit dem Alter 85 die relative Sterbehäufigkeit P in einem Alter 85, die Daten finden wir in Tabelle 3. Anschließend summieren wir für die Survivorfuntkion G die relativen Häufigkeiten ab dem betrachteten Mindestalter 85 bis zum Maximalalter 95 auf. Der Quotient aus beiden gibt Auskunft über den Anteil, der mit 85 Gestorbenen aus dem Altersabschnitt der 85 bis 95jährigen.

Wir wissen dadurch, dass knapp 19% der Personen, die mindestens 85 Jahre alt geworden sind, auch in diesem Alter starben.

Autor: Robert Nasarek